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来自仿射陪集结构的高围长正则量子LDPC码

arXiv: 2604.20838v1

论文信息

标题: High-Girth Regular Quantum LDPC Codes from Affine-Coset Structures

作者: Koki Okada, Kenta Kasai

发布日期: 2026-04-22

arXiv ID: 2604.20838v1

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论文背景与研究动机

量子纠错码是构建容错量子计算机的关键基石。随着量子硬件规模的扩展，量子比特的退相干和门操作错误成为主要障碍。低密度奇偶校验码因其稀疏校验矩阵和高效的置信传播译码能力，在经典通信领域取得了巨大成功。将LDPC码的思想引入量子领域，即量子LDPC码，有望实现接近香农极限的纠错性能。然而，量子LDPC码的设计面临独特挑战：必须满足量子力学中的对易约束条件，即稳定子生成元之间需要两两对易。此外，高码率、高距离和稀疏性之间的权衡一直是研究的核心。

传统量子LDPC码构造方法多基于双二部图或超图乘积，但这类方法往往导致码率较低或距离增长受限。近年来，高正则图与高围长结构成为突破方向。围长（girth）指图中最短环的长度，高围长能有效避免短环对置信传播译码的干扰，提升译码收敛性。同时，正则结构便于硬件实现和并行化处理。本文提出了一种基于仿射陪集结构的高围长正则量子LDPC码族，通过精心设计的基矩阵对和循环置换矩阵提升，实现了参数优异的量子码，并在译码实验中展示了接近无错误区的性能。这一工作为量子LDPC码的实用化提供了重要参考。

核心方法和技术细节

论文的核心构造分为两个阶段：基矩阵对的设计和循环置换矩阵提升。基矩阵对基于Calderbank-Shor-Steane（CSS）结构，其核心思想是使用两个经典LDPC码的校验矩阵 HXH_X 和 HZH_Z，分别对应量子比特的X型和Z型稳定子，并要求 HXHZT=0H_X H_Z^T = 0 以保证对易性。

仿射陪集结构与基矩阵构造

作者利用有限域 F29\mathbb{F}_2^9 中的六个三维子空间构造仿射陪集作为校验支持。具体而言，每个子空间 Vi⊂F29V_i \subset \mathbb{F}_2^9 的维数为3，共包含8个非零向量。通过选取每个子空间的一个陪集代表元 cic_i，得到陪集 ci+Vic_i + V_i，其中包含8个元素。这些陪集被用作校验节点的支持集，即每个校验节点对应一个陪集，连接该陪集中的所有变量节点。由于 F29\mathbb{F}_2^9 共有512个元素，因此变量节点数为512。每个陪集包含8个元素，且每个变量节点属于多个陪集，最终形成 (3,8)(3,8)-正则的二分图：左侧变量节点度数为3，右侧校验节点度数为8。

关键设计在于确保两个Tanner图（对应 HXH_X 和 HZH_Z）都具有围长8。围长8意味着图中不存在长度为4或6的环。作者通过代数方法选择子空间和陪集，使得任意两个校验节点之间的公共变量节点数不超过1，从而避免4环；同时通过更精细的约束避免6环。这需要利用子空间的正交性质和陪集结构的对称性。最终得到的基码参数为 [[512,174,8]][[512,174,8]]，即512个物理量子比特编码174个逻辑量子比特，距离至少为8。

循环置换矩阵提升

为了获得更长的码长和更好的性能，作者对基矩阵进行循环置换矩阵提升。提升因子 P=32P=32 意味着将基矩阵中的每个1替换为一个 32×3232 \times 32 的循环置换矩阵，每个0替换为全零矩阵。循环置换矩阵由单位矩阵循环移位得到，移位值由提升算法确定。提升后的码长变为 512×32=16384512 \times 32 = 16384 物理量子比特，维度变为 174×32=5568174 \times 32 = 5568？注意这里维度计算需谨慎：提升后码的维度并非简单相乘，因为提升会引入额外的约束。实际上，提升后码的参数为 [[16384,4142,≤40]][[16384, 4142, \leq 40]]，其中维度4142小于5568，说明提升过程中部分逻辑量子比特被合并或消除。距离的上界40来自译码实验观测到的逻辑错误最小权重。

提升过程的关键是选择循环移位值，使得提升后的码保持高围长。作者通过计算机搜索找到一组移位值，确保提升后图的围长至少为8。这种代数构造结合计算机搜索的方法，既保证了理论上的正则性和高围长，又通过数值优化提升了实际性能。

创新点和贡献

本文的主要创新点包括：

  1. 仿射陪集结构的系统性应用：将有限域子空间的仿射陪集用于量子LDPC码的校验支持设计，提供了一种代数构造高围长正则图的方法。与随机构造或图论构造相比，这种方法具有确定性和可重复性，便于理论分析。

  2. 同时实现(3,8)(3,8)-正则性和围长8：在量子LDPC码中，同时达到高正则度（变量节点度3，校验节点度8）和围长8是非常困难的。大多数已知构造要么正则度较低，要么围长较小。本文的构造证明了这种参数组合的存在性，并给出了具体实现。

  3. 循环置换矩阵提升与高围长保持：通过精心选择循环移位值，使得提升后的码保持基码的高围长特性。这为从短码构造长码提供了有效途径，同时保持了良好的译码性能。

  4. 译码实验的突破性结果：在码容量退极化模型下，使用置信传播译码加后处理，在物理错误率 p=0.085p=0.085 时帧错误率低至 10−810^{-8} 量级。这一错误率远低于传统量子LDPC码的阈值，表明该码族具有实际应用潜力。

实验结果分析

论文的核心实验基于提升因子 P=32P=32 的码，参数为 [[16384,4142,≤40]][[16384, 4142, \leq 40]]。译码采用置信传播算法，并辅以后处理步骤（如有序统计译码或局部搜索）以处理BP译码失败的情况。实验在码容量退极化模型下进行，即每个物理量子比特独立地以概率 pp 发生X、Z或Y错误，错误类型均匀分布。

关键实验数据如下：

  • 在物理错误率 p=0.085p=0.085 时，帧错误率约为 10−810^{-8}。这对应于约11.8个逻辑量子比特的错误率，即每个逻辑量子比特的错误率约为 10−8/4142≈2.4×10−1210^{-8}/4142 \approx 2.4 \times 10^{-12}，远低于物理错误率。
  • 观测到的最小逻辑错误权重为40，由此推导出码距离的上界 d≤40d \leq 40。注意这是译码器给出的上界，实际距离可能更小，但至少表明码的距离不低于40（因为译码器成功纠正了所有权重小于40的错误模式）。
  • 后处理步骤显著降低了错误平层。没有后处理时，BP译码在 p=0.085p=0.085 附近会出现错误平层，帧错误率稳定在 10−410^{-4} 量级。加入后处理后，错误率进一步降低四个数量级以上。

这些结果证明了该码族在中等物理错误率下的强大纠错能力。值得注意的是，p=0.085p=0.085 已经接近某些量子门的错误率阈值，但该码仍能实现极低的逻辑错误率，表明其具有实用化潜力。

实践应用建议和未来发展方向

实践应用建议

  1. 量子存储与中继：高码率（约25.3%）和中等距离（40）使得该码适合作为量子存储器的纠错方案。在量子中继器中，可以使用该码保护存储量子比特，降低退相干影响。

  2. 容错量子计算：该码的(3,8)(3,8)-正则结构便于实现并行化的稳定子测量。变量节点度数为3意味着每个量子比特只参与3个稳定子测量，减少了测量次数和错误传播。建议设计专门的量子电路来高效实现这些稳定子测量，例如使用标志比特技术检测测量错误。

  3. 编译码器硬件实现：循环置换矩阵结构使得编码器和译码器可以基于循环移位寄存器实现，适合FPGA或ASIC加速。建议开发专用硬件，利用高并行度实现实时译码。

未来发展方向

  1. 距离下界的理论证明：当前仅通过译码实验得到距离上界40，但缺乏严格的下界证明。未来需要从代数角度分析码的距离，或者通过穷举搜索小重量错误模式来估算实际距离。

  2. 提升因子的优化：当前使用 P=32P=32，未来可以尝试更大的提升因子（如 P=64P=64 或 P=128P=128），以获得更长的码长和更高的距离。同时需要研究提升因子与译码性能的关系，找到最优平衡点。

  3. 译码算法的改进：BP加后处理的译码方案虽然有效，但后处理步骤的计算复杂度较高。未来可以探索基于神经网络的译码器，或者结合量子LDPC码的图结构设计更高效的后处理算法。

  4. 实际噪声模型的适配：实验采用码容量退极化模型，但实际量子硬件可能呈现非对称错误率（如T1/T2退相干）或关联错误。需要将构造方法推广到更实际的噪声模型，并评估其性能。

  5. 与其他码族的比较：将该码与曲面码、双曲码、超图乘积码等主流量子LDPC码进行系统比较，包括码率-距离权衡、译码阈值、硬件资源消耗等指标，为实际应用选择提供依据。

总结与展望

本文提出了一种基于仿射陪集结构的高围长正则量子LDPC码族，通过代数构造和循环置换矩阵提升，实现了参数 [[16384,4142,≤40]][[16384, 4142, \leq 40]] 的量子码。译码实验在物理错误率0.085时达到 10−810^{-8} 的帧错误率，展示了接近实用化的纠错性能。该工作为量子LDPC码的设计提供了新思路，特别是仿射陪集与循环提升的结合，有望成为未来量子纠错码的标准构造方法。

展望未来，量子LDPC码的研究正从理论走向实践。随着量子硬件的进步，我们需要码长更长、距离更高、译码更高效的量子码。本文的构造方法为这一目标奠定了坚实基础，但仍有大量优化空间。例如，探索更高维度的有限域和子空间结构，可能获得更优的参数；结合机器学习的译码算法有望突破传统BP译码的局限。此外，将这类码与量子计算机的物理实现（如超导、离子阱、光子）相结合，验证其在实际噪声环境下的表现，将是下一步的重要工作。量子纠错码的最终目标是实现大规模容错量子计算，而本文的工作无疑向这一目标迈出了坚实的一步。